21 12 2008

Fonksiyonlarda İşlemler

FONKSİYON

  

TANIM : f A kümesinden B kümesine bir bağıntı olsun. f bağıntısında

A nın istisnasız her elemanı B nin en fazla ve en az bir elemanı ile eşleşiyorsa f bağıntısına fonksiyon denir ve

şeklinde gösterilir.

 

A kümesine tanım kümesi,

B kümesine görüntü kümesi denir.

 

Tanım kümesinin elemanlarına orijinaller,

görüntü kümesinin elemanlarına görüntüler denir.

 

Bu yeni terimleri kullanarak fonksiyon olma şartını yeniden yazalım :

A'nın her orjinalinin B içinde en az ve en fazla bir tane görüntüsü olacaktır.

 

ÖRNEK : Aşağıdaki bağıntılardan hangileri A= { 1, 2 , 3 } kümesinden

B = { a, b , c , d } ye fonksiyondur?

1.         Β1 = {(1, b), (2, a) }

2.       Β2 = {(3,b), (1,c), (2,b) }

3.       Β3 = {(1,a), (2,a), (3,a) }

4.        Β4 = {(1,a), (2,b), (1,c) , (3,c) }

ÇÖZÜM :

1.      Β1 = {(1, b), (2, a) }

A kümesindeki 3' orjinalinin B içinde bir görüntüsü yoktur.

Β1 fonksiyon değildir.

2.     Β2 = { (3, b), (1,c), (2,b) }

A kümesindeki her orjinalin B içinde bir görüntüsü vardır.

Β2 fonksiyondur.

3.     Β3 = {(1,a), (2,a), (3,a) }

A kümesindeki her orjinalin B içinde bir görüntüsü vardır.

Β3 fonksiyondur. Görüntüler eşit olabilir.

4.     Β4 = {(1,a), (2,b), (1,c) , (3,c) }

A kümesindeki her orijinalin B içinde yalnız bir tane görüntüsü olacak. Burada 1 orijinali iki tane farklı görüntüye sahiptir.

Β4 fonksiyon değildir.

 

ÖRNEK : Aşağıda bağıntılardan hangileri bir fonksiyon değildir.

1. İnsanlar kümesinden meslekler kümesine tanımlanan ve her insanı kendi mesleği ile eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?

ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her insanın en fazla bir ve en az bir tane mesleği olmalıdır. Oysa gerçekte bazı insanların iki mesleği olduğu gibi bazı insanlarında mesleği olmayabilir. Bu bağıntı fonksiyon değildir.

 

2. Hayvanlar kümesinden yuvalar kümesine tanımlanan ve her hayvanı kendi yuvasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?

ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her hayvanın en fazla ve en az bir tane yuvası olmalıdır. Oysa gerçekte bazı hayvanların yuvalarının olmadığını biliyoruz. Bu bağıntı fonksiyon değildir.

 

3. Çocuklar kümesinden babalar kümesine tanımlanan ve her çocuğu babasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?

ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her çocuğun en fazla ve en az bir tane babası olmalıdır. Gerçekte her çocuğun mutlaka bir babası mevcuttur ve bir çocuğun iki babasının olması biyolojik olarak mümkün değildir. Bu bağıntı fonksiyondur.

UNUTMAYIN : Birkaç çocuğun aynı babaya sahip olması fonksiyon olmayı bozmaz.

 

4. Bir fabrikadaki işçilerle aldıkları ücretleri eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?

ÇÖZÜM : Bu bağıntı da fonksiyondur. Çünkü bedavaya çalışan olmayacağı için her işçinin bir ücreti mutlaka vardır. Hiçbir patron bir işçiye iki ücret vermeyeceğine göre her işçinin en fazla bir tane ücreti vardır. O halde bu bağıntı fonksiyondur.

  

Fonksiyonlar genellikle yapılan eşlemeyi ifade eden kurallarla verilir.

 

ÖRNEK : f : A = {1, 2, 3 }  B

                       f(x) = 2x + 3

fonksiyonunun sıralı ikililerini yazalım:

Burada tanım kümesinin elemanları ( orijinaller ) verilmiş fakat görüntüler verilmemiştir.

 

Fonksiyonun kuralında x yerine orijinalleri yerleştirerek görüntüleri bulacağız.

1 in görüntüsü   f(1) = 2.1 + 3 = 5

2 nin görüntüsü f(2) = 2.2 + 3 = 7

3 ün görüntüsü f(3) = 2.3 + 3 = 9

f = { (1,5), (2,7), (1,c) , (3,9) } şeklinde gösterilir.

 

ÖRNEK : f = { (-4,3), (0,2), (1,5) , (2,-1), (-3,9), (3,2), (-2,-1) } fonksiyonu veriliyor. Aşağıdaki soruları çözelim:

1.      Tanım kümesi nedir?

2.     Görüntü kümesi nedir?

3.     f(2) = ?

4.     f(-3) = ?

5.     f(5) = ?

ÇÖZÜM :

1. Sıralı ikililerin birinci bileşenleri tanım kümesinin elemanlarını verir.

A = { - 4, -3 , -2 , 0 , 1 , 2 , 3 }

2. Sıralı ikililerin ikinci bileşenleri görüntü kümesinin elemanlarını verir.

B = { -1 , 2 , 3 , 5 , 9 }

 

3. f(2) = ? sorusu " 2 ' nin görüntüsü kaç demektir"

2 ' nin görüntüsü sıralı ikilide 2 nin karşısındaki sayıdır. f(2) = -1

 

4. f(-3) = ? sorusu " -3 ' ün görüntüsü kaç demektir"

-3 'ün görüntüsü sıralı ikilide -3 ün karşısındaki sayıdır. f(-3) = 9

 

5. f(5) = ? sorusu " 5 ' in görüntüsü kaç demektir"

5 'in görüntüsü sıralı ikilide 5 in karşısındaki sayıdır.

Sıralı ikililerin hiç birinde 5 birinci bileşen olarak yer almamıştır. Yani bu fonksiyon 5 için tanımlanmamıştır.

5 in görüntüsü yoktur.

 

 

FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

 

SABİT FONKSİYON :

f : A  B fonksiyonunda bütün orijinaller aynı görüntüye sahip ise f ye sabit fonksiyon denir ve her x є A iзin f (x) = b юeklinde gцsterilir.

ÖRNEK :

A = { 2 ,5 ,7 , } olmak üzere

f : A  B

 f (x) = 6

fonksiyonu sabit fonksiyondur.

Çünkü f(2) = f(5) = f (7) = 6 ‘ dır .

 

ÖRNEK : Her işçisine aynı ücreti veren bir patronun işçileri ile aldıkları ücretleri eşleştiren fonksiyon sabit fonksiyondur.

 

BİRİM FONKSİYON

 

f : A  B

f(x) = x

 

f fonksiyonuna birim fonksiyon denir .

Yani her elemanın görüntüsü kendisine eşittir .

Birim fonksiyon genellikle I (x) ile gösterilir.

 

ÖRNEK :

Aşağıda A = { a,b ,c } kümesinde şema ile tanımlanan

 I : A A

fonksiyonu birim fonksiyondur

Çünkü : I(x) = x olur.

I (a) = a , I (b) = b , I (c) = c dir .

 ÖRNEK : Bir kameranın fonksiyonu görüntü almaktır. Kamera ile bir maçı çekersek sonradan seyrettiğimizde kameranın her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirdiğini görürüz. Yani hiçbir zaman Ahmet in görüntüsü Mehmet olmaz. Kamera her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirir. Kameranın fonksiyonu sabit fonksiyondur.

 

 İÇİNE FONKSİYON

 

f : A  B fonksiyonunda orijinallere ait görüntüler görüntü ( B ) kümesinin alt kümesi oluyorsa f , içine fonksiyondur .

ÖRNEK:

Şemada tanım kümesi A = { a , b , c } ve görüntü kümesi B = { 1, 2, 3, 4 } dür.

 Orijinallerin görüntülerinden oluşan görüntü kümesi f (A) = { 1, 2 } dir.

{ 1, 2 } C { 1, 2, 3, 4 }  olur. f (A) kümesi B ' nin alt kümesidir. Fonksiyon içinedir.

Yani B kümesi A kümesinin görüntüleri ile örtülmezse fonksiyon içine olur.

_______________________

İŞLEM

_______________________

Tanım: A boş olmayan bir küme olsun. A X A kümesinden A kümesine tanımlı her fonksiyona, A kümesinde tanımlı ikili işlem ya da A kümesine tanımlı işlem denir.

İşlemi Å , , * gibi sembollerle gösteririz.

Örnek; x ve y Reel sayıları için, x*y = x+y+2xy

işlemi tanımlanıyor. ( 4,2 ) sıralı ikilisine karşı gelen sayı kaçtır?

Çözüm;

x*y = x+y+2xy işleminde x = 4 ve y = 2 yazacağız.

4*2 = 4+2+2.4.2 = 24 bulunur.

Burada işlemin tanımına göre 4 ile 2 yi işleme aldığımızda 24 çıkıyor. Bu sonucu daha önce gördüğümüz dört işlemden hiçbirinde bulamayız.

4 + 2 = 8, 4 - 2 = 2, 4.2 = 8, 4:2 = 2

Daha önce öğrendiğimiz dört temel işlemi kullanarak birçok yeni işlemler üretebiliriz. Örneğin

 b = aa2 + b2

xy = xy - 2x

xy = ( x / y ) + y4

işlemleri bunlardan bazılarıdır.

 

Neden Farklı İşlemlere Gerek Duyulmuştur?

Örneğin biliyoruz ki bir futbol takımı galibiyete 3, beraberliğe 1 puan almaktadır. Bir futbol takımının puanını

g▼b = 3g + b işlemiyle bulabiliriz.

Bir takım 8 galibiyet, 5 beraberlik almış ise puanı :

85 = 3.8 + 5 = 29 olur.

Sonuç olarak dört işlem yardımıyla tanımladığımız bu yeni işlemler birkaç hesabı içinde barındırır ve kolaylık sağlar. Sözün özü gelişen teknoloji, artan ihtiyaçlar ve çağımızın sürat çağı olması nedeniyle matematik bu ihtiyaçlara cevap verebilecek işlemleri ve enstrümanları geliştirmektedir.

 

_____İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ________

 

BİR KÜMENİN BİR İŞLEME GÖRE KAPALILIĞI

işlemi boş olmayan bir A kümesinde tanımlı bir işlem olsun. A ' nın her x ve y elemanı için , xy işleminin sonucu daima A kümesinin bir elemanı olursa A kümesi işlemine göre kapalıdır denir.

Örnek; x ve y iki tamsayıdır. * işlemi x*y = xx +3y olarak tanımlanıyor. * işlemi tamsayılar kümesinde kapalımıdır?

Çözüm; * işleminin kapalı olması için tam sayılar kümesinden bütün elemanları işleme aldığımızda sonuçların tümü tamsayı olmalıdır.

İşlemi iki parçada düşünelim: x*y = xx +3y

Herhangi iki x ve y tamsayısı alalım.

xx bir tamsayının kendi kuvvetidir. Örneğin

11 , 22 , 33 , 44 ,... gibi sayıları hesaplarsak sonuçları hep tamsayı çıkar.

3y ifadesi bir tamsayının 3 ile çarpılacağı anlamındadır. Her tamsayının 3 ile çarpımı yine tamsayıdır.

x*y = xx +3y İşleminin iki parçası da tamsayıdır.

Bu parçaların toplamı yine tamsayı olur. O halde işleme aldığımız tüm tamsayılar sonuç olarak yine tamsayı veriyor.

İşlem tam sayılar kümesinde kapalıdır.

Örnek; y = xy - 2x işlemi doğalÑx sayılar kümesinde kapalımıdır?

Çözüm;  işleminin kapalı olması için doğal sayılarÑ kümesinden bütün elemanları işleme aldığımızda sonuçların tümü doğal sayı olmalıdır. Oysa ;

x = 5 ve y = 4 alırsak

y = xy - 2x işlemiÑx

4 = 5.4 - 2.5 =Ñ5 -10 bulunur.

 işlemi doğal sayılar kümesindeÑ-10 doğal sayı olmadığından  kapalı değildir.

 

Örnekler ______________

1. Karıştırma işlemi renkler kümesinde kapalımıdır?

Çözüm; Renkler kümesinden iki renk alıp karıştıralım, karışım sonucu yine bir renk olur. Karıştırma işlemi renkler kümesinde kapalıdır.

2. Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde kapalımıdır?

Çöz&uu

6195
0
0
Yorum Yaz