04 01 2009

Küme Kavramı

KÜME KAVRAMI


Kümenin tanım yoktur. Bundan dolayı kümeyi tanıt­maya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kol­leksiyon ifadesi vardır. Kümeye ait olan şeylere kümenin elemanı denir. Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve simgesi ile gösterilir.
Küme üç türlü ifade edilir.
1. Liste Yöntemi :
Kümeye ait olan şeyler iki paragraf parantezi içine liste olarak yazılır. (Bir eleman küme de ancak bir kez yazılır.)
Örneğin; {1, 2, 3, 4}
{a, b, c, d, e}
kümeleri liste ile yazılmıştır.
2. Koşullu Yöntem (Ortak Özellikli Yöntem) :
Kümeyi oluşturan şeylerin ortak özellikleri varsa bu yöntemle yazılır. Kümeye ait olan şeyleri bir harfle gös­terir, bir çizgi veya ( koyarak ortak özelliği belirten ge­rek ve yeter koşuluna uyarız. Bunu da iki paragraf paran­tezi arasında gösteririz.
B = { x | 0 < x < 5, x ÎZ }
(Bu kümeni elemanlarının olduğunu görüyoruz.)

3. Şema İle Gösterme :
kümeye ait şeyleri bir kapalı eğri içinde yazarız.
Örneğin B = {1, 2, 3, 4} ise bunun şema ile gösterimi:




şeklindedir.
Kümenin elemanı (Œ) ile belirlenir. Örneğin yukarı­daki küme için 2 Œ B, 3 Œ B gibi.
5 œ B (5, B nin elemanı değildir.)

EŞİT KÜMELER
Elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir.
Örneğin A = {0, 1, 2, 3}
ve B = { x | 0 ≤ x < 4, x ÎZ }
kümeleri eşit kümelerdir. (A = B)
Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) olarak belirlenir. s(A) = 4 gibi. Ya da n(A) ile belirlenir.
ALT KÜME
A kümesinin her elemanı B kümesinin bir emelanı ise A ya B nin alt kümesi veya B, A kümesini kapsar de­nir. A Ã B biçiminde gösterilir.
Örneğin
A = {0, 2, 4} ve B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ise
A Ã B dir.
Alt Kümenin Özellikleri :
1. Ø, Her A kümesinin bir alt kümesidir. 2. Her küme kendisinin alt kümesidir. "A, A Ã A (yansıma özelliği)
3. A Ã B , B Ã A ª A Ã C (geçişme özelliği) 4. A Ã B , B Ã A ª A = B (Ters simetri özelliği)
n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir.
ÖZ ALT KÜME
Kendinden başka alt kümelere öz alt küme denir.
n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2n–1 dir.
n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sa­yısı:
( ) = formülü ile kullanılır.
NOT :
n elemanlı bir kümede r elemanlı alt kümelerin sayısı n – r elemanlı alt küme sayısına eşittir.
Bir A kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin sayısı iki elemanlı alt kümelerinin sayısına eşitse bu küme kaç elemanlıdır?
Çözüm : n elemanlı kümede r elemanlı alt kümelerin sayısı n – r elemanlı alt kümelerin sayısına eşittir.
r = (n – r) = n olduğu için
3 + 2 = 5, A kümesinin eleman sayısıdır.
A = {a, b, c} kümesinin kaç tane alt kümesi, kaç tane özalt kümesi vardır?
Çözüm : Alt küme sayısı 23 = 8, Öz alt küme sayısı 23 – 1 = 7 dir.
A = {a, b, c, d, e, f} kümesnin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b elemanı vardır?
Çözüm : Aranılan alt kümelere {b, ., .} biçimindedir. (.) ların yerine kümenin b den başka 5 tane elemanından 2 tanesi gelecektir. O halde; ( ) = = 10. 10 tane üç elemanlı alt kümede b vardır.
Dört elemanlı alt kümelerin sayısı, üç elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin kaç tane beş elemanlı alt kümesi vardır?
Çözüm : Kümenin eleman sayısı: 4 + 3 = 7 dir. O halde yedi elemanlı kümenin 5 elemanlı alt küme sayısı: ( ) = = 21 bulunur.
Bir kümenin 3 den az elemanlı alt kümelerinin sa­yısı 16 ise o küme kaç elemanlıdır?
Çözüm : 3 den az elemanlı, , bir elemanlı ve 2 elemanlı alt küme sayısı demektir. Küme n elemanlı ise
( ) + ( ) + ( ) = 16
+ + = 16,
1 + n + = 16
2 + 2n + n2 – n = 32
n2 + n – 30 = 0
(n – 5) (n + 6) = 0 ª n = +5 ve n = –6 eleman sayısı negatif olamaz.
Kümenin eleman sayısı 5 dir.
A = { 1, 2, 3, 4, 5, x, y } kümesinin, içerisinde x, y elemanları bulunmayan, dört elemanlı alt kümesi kaç tanedir?
Çözüm : x, y elemanları bulunan dört elemanlı alt küme sayısı
( ) = = 10.
A kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı:
( ) = = 35 dir.
x, y elemanları bulunmayan dört elemanlı küme sayısı : 35 – 10 = 25 dir.
SONLU KÜME
Kendi öz alt kümelerinden hiçbiri ile 1 – 1 eşleneme­yen kümelere sonlu küme denir.
Örneğin A = {1, 2} kümesi sonlu kümedir.
Öz alt küme sayısı 31 olan bir kümenin 3 ele­manlı alt kümesi kaç tanedir? (Bu küme sonlu mudur?)
Çözüm : n elemanlı kümenin öz alt kümesi 2n – 1 = 31 ®2 n = 32 = 25
n = 5 bulunur. Bu küme sonludur. 5 elemanlı kü­menin üç elemanlı alt küme sayısı ise ( ) = = 10 bulunur.

KÜMELERDE İŞLEMLER

BİRLEŞİM (È ) :
Tanım : A ve B kümelerinin birleşimi :
A È B = { x : x Î A veya x Î B } dir.
Örneğin A = {a, b, c} B = {c, d, x, y} ise A È B = {a, b, c, d, x, y} dir.
Şema ile


BİRLEŞİMİN ÖZELLİKLERİ (È )
1. A È A = A
2. A È B = B È A (Değişme)
3. (A È B) È C = A È (B È C) (Birleşme)
4. A È = ∆È» A = A
5. (A Ã B) ® A » B = B
6. (A Ã B) ® (A » C) Ã (B » C) (Her C için)
7. (A Ã B) ®A Ã (B » C) (Her C için)
8. (A = B) ®(A » C) = (B » C) (Her c için)
9. (A » C) = (B » C) olması A = B olmasını ge­rektirmez.
10. (A » C) Ã (B » C) olması A Ã B olmasını ge­rektirmez.

(9. ve 10. da görüldüğü gibi birleşimde sadeleşme özelliği yoktur.)

KESİŞİM («)
A ve B kümelerinin kesişimi:
A « B = { x | x ÎA ve x Î B }
Örneğin A = { 1, 2, 3, 4} ve B = {1, 3, 5, 7, 9}
A « B = {1, 3} tür.
Şema ile A « B nin gösterimi
dır.
KESİŞİMİN ÖZELLİKLERİ («)
1. A « A = A
2. A « = « A =
3. A « B = B « A (Değişme)
4. (A « B) « C = A « (B « C) (Birleşme)
5. (A Ã B) ® A « B = A
6. (A Ã B) ® (A « C) Ã (B « C) ("C, için)
7. (A Ã B) ® (A « C) Ã B ("C, için)
8. (A Ã B) ® (A « C) Ã (B » D) ("C, D için)
9. (A = B) ® (A « C) = (B « C) ("C, için)
10. (A « C) = (B « C) olması A = B olmasını ge­rektirmez.
11. (A « C) Ã (B « C) olması A Ã B olmasını ge­rektirmez.


Not: Kesişimin eşitlik ya da alt küme olmada sade­leşme özelliği yoktur.

Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği var­dır.

Birleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği var­dır.

A ve B kümelerinin birleşimlerinin eleman sayıları

A, B, C kümelerinin birleşiminin eleman sayısı :
AYRIK KÜMELER
A « B = ® A ve B ayrık kümedir.
Ayrık kümelerde


Bir sınıfta bulunan öğrencilerin tümü voleybol veya basketboldan en az birini oynamaktadır. 21 öğ­renci voleybol, 24 öğrenci basketbol ve 7 öğrenci de herikisini de oynadığına göre bu sınıfta kaç öğrenci vardır?

Çözüm :
V: Voleybol oynayanların kümesi,
B: Basketbol oynayanların kümesi ise,
s(V » B) = s(V) + s(B) – s(V « B)
= 21 + 24 - 7
= 38 bulunur.
Venn şeması ile çözün:
s(V » B) = 14 + 7 + 17 = 38 bulunur.


Bir spor kulübünde futbol oynayan 60, voleybol oynayan 42 ve basketbol oynayan 40 kişi vardır. Bu kulüpte futbol – voleybol oynayan 18, futbol basketbol oynayan 16, her üçünü de oynayan 14 kişi bulunuyor. Bu kulüpte kaç sporcu vardır?


Çözüm :
s(F»B»V) = 60 + 42 + 40 – 20 – 18 – 16 + 14 = 102
sporcu
Venn şeması ile çözüm:


Venn şeması ile çözümde daima en çok kesişen bölge­den başlanır.
Oyuncu sayıları şekilde görül­düğü gibi yerleştirilir. Toplamı
38+6+14+2+18 + 4 + 20 = 102 bulunur.
EVRENSEL KÜME VE TÜMLEME
Verilen kümeyi alt küme kabul eden kümeye onun evrensel kümesi denir. E ile gösterilir.
Örneğin, A = {0, 1,2 3, 4} ise
E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, veya
E = {x | x 0 ≤ x < 20, x Œ N} ya da
E = N olarak alınabilir.

Not: Evrensel küme verilmemiş ise biz en dar olanını tercih ederiz.


TÜMLEME
Bir A kümesinin elemanı olmayıp da onun evrensel kümesinin elemanlarından oluşan kümeye A nın tümle­yeni denir. Ve A' yada ~A biçiminde gösterilir.


E = {0, 1, 2, 3, , 5} ve A = {0, 2, 4} ise A nın tümle­yeni;
A' = {1, 3, 5} kümesidir.

TÜMLEME ÖZELLİKLERİ
1. (A')' = A
2. ' = E
3. E' =
4. (A»B)' = A'«B'
5. (A«B)' = A' » B'
6. A Ã B ® B' Ã A'
7. A « B = = A Ã B' ve B Ã A'
8. A » A' = E
9. A « A' =





FARK KÜMELERİ
A ve B kümelerinin farkı A B = {x | x Œ A ve x œ B} olarak tanımlanır.
Örneğin; A = {1, 2, 3, 4} ve B = {1, 3, 4} ise
A B = {2, 4}


A = {x | 2≤ x < 7, x Œ R}
B = {x| 5 < x ≤ 11, x Œ R} ise
A B kümesini bulunuz?

Çözüm :
A ve B kümelerini reel sayı ekseninde gösterelim.
A B = {x | 2 ≤ x ≤ 5 x Œ R}
Bunu x Î [2; 5] şeklinde de gösterebiliriz.



FARK KÜMELERİNDE ÖZELLİKLER
1. A A =
2. A = A
3. A =
4. A B = A « B'
5. (AB) »B = A » B
6. (A B) « B =
7. (A B)' = A' » B
8. (A B) » (B A) = (A » B) (A « B)
9. (A B) « A = A B
10. (A B) » A = A
11. (A B) » (A « B) = A




(A B) C nin eşiti aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) A « B' « C' B) A (B » C)
C) A «(B»C)' D) (A B) « C'
E) A « B « C'

Çözüm :
(AB) C = (A B) « C'
= (A « B') « C'
= A « (B' « C')
= A « (B » C)'
= A (B » C)
Burada bulunan eşitlikler A, B, C, D seçenekle­rinde var. O halde
Cevap : E dir.


Taralı bölge aşağıdakilerden hangisidir?
A) A « B « C B) A « ( B » C)'
C) (A « C)' « C D) B « (A » C)'
E) B « (A « C)'

Çözüm :
Taralı bölge B nin içinde A ile C nin dışında olduğu için B « (A » C)' cevapdır.
Cevap : D




s(A B) = 5, s(A « B) = 2 ise s(A) nın eşiti ne­dir?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Çözüm :
(A B) » (A « B) = A olduğu için s(A) = 5 + 2 = 7 bulunur.
Cevap : E
s(A) = 2s(B), s(A B) = 10 ve
s(A « B) nin alt kümelerinin sayısı 16 ise A » B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 20

Çözüm :
(A B) » (A « B) = A olduğu için 10 + 4 = s(A) ve s(B) = s(A) olduğundan s(B) = 7; s(B A) = 3 bulunur. Bunları Venn şemasına yerleştirirsek
s(A » B) = 17
Cevap : C


Bir E evrensel kümesinde verilen A ve B kümeleri için s(A) + s(B') = 18, s(B) + s(A') = 24 ise bu ev­rensel küme kaç elemanlıdır?
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24


Çözüm :
S(A) + s(A') = s(E) ve s(B) + s(B') = E olduğu için verilenleri taraf tarafa toplayalım.

2 s(E) = 24 ® s(t) = 21 bulunur.
Cevap : B


s(B') = 13, s(A') = 10 ve s(B) = 8 ise s(A) kaçtır?

Çözüm :
s(B) + s(B') = s(E) O halde
s(E) = 13 + 8 = 21 dir.
s(A) + s(A') = s(E) olduğundan
s(A) = 21 – 10 = 11 bulunur.
taralı bölge A È B dir.
prenses Ã�evrimdıÅ�ı   Alıntı ile Cevapla

102
0
0
Yorum Yaz