04 01 2009

Kuvvet Kümesi

Burada matematiğin, imkansız olduğunu ispatladığı ifadeleri bulacaksınız. Bir şeyin varolduğunu ispatlamak çoğu zaman zorlamaz, çünkü hedef bellidir, varolduğunu iddia ettiğiniz varsayımın peşinde koşarsınız. Peki ya bir şeyin var olmadığını ya da bir işin yapılmasının imkansız olduğunu göstermek? Birkaç denemede başarısız olup da, yapamıyoruz ya da bulamıyoruz demek yeterli olur mu? Olmaz.Bunun, hiçbir şekilde mümkün olmadığını ispatlamak gerekir. Her zaman olmasa da, bu tarz ispatlar matematikçileri çok zorlayabiliyor ve çözüme kavuşması yüzyılları bulabiliyor.

Antik Çağın İmkansız Problemleri

Bir pergel ve (ölçüsüz) bir cetvel kullanarak;
Verilen herhangi bir açıyı 3 e bölemeyiz!

Verilen Bir küpün hacminin iki katına eşit hacimli bir küp çizemeyiz!

Verilen bir çemberinin alanına eşit alanlı bir kare çizemeyiz!

MÖ.500 civarı, Yunan tarihininden çıkma bu 3 problemin imkansızlığı, onlar ortaya çıktıktan yaklaşık 2000 yıl sonra bulunmuştur. Çözümü, cebirde, grup kuramının içinde yeralan Galois Kuramı kullanılarak yapılmaktadır. Bu çizimleri gerçekleştirdiğini düşünen pek çok insanın içine düştüğü iki önemli hata vardır:
Çizimler yapılırken, pergeli çember çizmek için (açıyı hiç bozmadan pergeli tekrar kullanabilirsiniz), cetveli de (ölçü kullanmadan) sadece düz çizgi çizmek için kullanıyoruz. Bunun aksine hareket edenler açıyı üçe bölmeyi başarabilir ama bu gerçek bir başarı olmaz.
Kimileri bu kuralları kullanarak bazı açıları gerçekten 3e bölmeyi başarabiliyor. Sözkonusu olan açılarsa 90-180 gibi açılar. Oysa ki eldeki teorem verilen herhangi bir açının üçe bölünemeyeceğinden bahsediyor. Bu, "hiçbir açıyı üçe bölümeyiz" den ziyade "her açıyı üçe bölünemeyiz" anlamına geliyor. Aradaki farka dikkat edin.
Açının üçe bölünemeyeceğinin ispatı yapılırken, sadece bir açının örneğin 60°'nin üçe bölünmeyeceğinin ispatının yapılması yeterli oluyor. Bu imkansız problemler 1837'de Fransız matematikçi, Pierre Laurent Wantzel tarafından ispatlandı.

Doğal Sayılar ile Gerçel sayılar arasında birebir eşleme yapmak mümkün değil!

Bu problemi anlamak için, önce, birebir eşleme yapmanın ne anlama geldiğini anlamak lazım. Birebir eşleme, iki küme arasında kurulan bir ilişkidir. İki küme birebir eşlenebilir, yalnız ve ancak kümelerdeki her elemana diğer kümeden karşılık gelecek bir eleman varsa. Buradan çıkacak ilk sonuç, her kümenin kendisi ile birebir eşlenebileceğidir. Bunu ispatlamak için, her elemanı kendine gönderen bağıntıyı seçmek yeterli olacaktır. Sınırlı kümeler için de bu iş oldukça kolaydır. Ama sınırsız sayıda elemanı olan kümeler işi biraz zorlaştırabilir. Örneğin doğal sayılar kendisinin bir alt kümesi olan çift sayılar kümesiyle birebir eşlenebilir:

Benzer bir eşleme, rasyonel sayılarla doğal sayılar arasında da yapılabilir. Uzunca bir süre kimse gerçel sayılarla, doğal (ya da rasyonel) sayılar arasında bu tarz bir eşleme yapamamıştır. Kimsenin böyle bir eşlemeyi bulamaması onun varolmadığı anlamına gelmiyor çünkü var değilse bile bunu da ispatlamak gerekiyor. Bu ispat 1874 de George Cantor tarafında yapılmış.

Cantor Teoremi:
Bir küme ile kendisinin kuvvet kümesi arasında birebir eşleme yapılamaz
Aslında bir önceki ifade bu ifadenin özel bir durumu. Çünkü Gerçel sayılar kümesi doğal sayıların kuvvet kümesi.
Biz ispatı elimizdeki özel durum için yapalım. Doğal sayılar kümesini N, kuvvet kümesini de K(N) ile gösterelim. Varsayalım ki N kümesi K(N)'ye birebir eşlenebilsin. Bu eşlemeyi sağlayan bağıntıya da b diyelim. Amacımız b bağıntısının örten olmadığını göstermek, diğer bir deyişle Kuvvet kümesindeki bir elemanın (yani N kümesinin bir alt kümesinin) b bağıntısı altında N kümesinde bir elemanla eşleşemediğini göstereceğiz. b eşlemesi, sözgelimi, şu tarz bir eşleşme olacak.

Bazı sayılar kendisinin içinde olmadığı alt kümelerle eşleşebiliyor. Burada, 2 ve 4 bu elemanlara örnek.
Şimdi biz bu tarz elemanları alıp bir alt kümeye koyalım.

Açıkca A, doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi. Bu özelliğinden dolayı A kümesi kuvvet kümesinin bir elemanı olmalı. (Çünkü, zaten kuvvet kümesi, sözkonusu kümenin bütün alt kümelerin kümesi demek) Öyleyse N kümesinde öyle bir eleman olmalı ki bu A kümesine eşlenmeli:

? yerine geçecek eleman hangisi? Bu eleman, A kümesinden olamaz çünkü öyle olsa o eleman zaten kendinin içinde olduğu bir kümeye eşlenmiş olurdu ve bu A kümesinin elemanı olmasına engel teşkil ederdi. Öte yandan A kümesi dışından bir eleman olsa, kendinin içinde olmadığı bir kümeye eşlendiği için A kümesinin bir elemanı olmaya hak kazanacaktı, bu durum da yine bir çelişkiye yol açacaktı. (Unutmayın A kümesi ile dışı, bütün doğal sayılar kümesini oluşturuyor) Öyleyse yapılan bu sözde birebir eşlemede A kümesine eşlenen bir eleman yok yani kuvvet kümesinde en az bir eleman açıkta. Sonuç olarak başlangıçtaki kabulümüz yanlıştır. Doğal sayılar kümesi kuvvet kümesi ile birebir eşlenemez. Kuvvet kümesi de Gerçel sayılar kümesi ile birebir eşlenebildiğinden, doğal sayılar kümesi gerçel sayılar kümesiyle birebir eşlenemez diyoruz.

Doğru ya da yanlış olduğunun kanıtlanması
asla mümkün olmayan varsayım:


Süreklilik Hipotezi
Alman Matematikçi George Cantor sonsuzları hiyerarşik bir sıraya sokan bir çalışma yapmıştır. Buna göre, sonsuz kavramı şöyle tanımlanmıştır: Eğer bir koleksiyon (kendisine eşit olmayan) bir alt koleksiyonu ile birebir eşitlenebiliyorsa o koleksiyon sonsuzdur ya da sonsuz sayıda eleman içerir denir. Matematikte önce saymaya başladığımızdan aklımıza gelen ilk sonsuzluk doğal sayıların sınırsız olduğudur. Doğal sayıların bir alt kümesi olan çift sayılar da sonsuz tanedir. Bu iki küme, birbiri ile eşlenebilir. Örneğin 1 ile 2; 2 ile 4; 3 ile 6; 4 ile 8 gibi. Benzer bir eşleme, gerçel sayılarla doğal (ya da rasyonel) sayılar arasında yapılamıyor (bkz Cantor ıspatı) Bu da reel sayıların başka bir sonsuz olduğunu akıllara getiriyor.



Sözü geçen hiyerarşide doğal sayılar ilk sonsuzluk ve reel sayılar da ikinci sonsuzluk olarak yerini alıyor. Bu sonsuzluklar İbranice olan Alef () harfi ile ifade edilir. Doğal sayılar 0 iken gerçel sayılar 1dir. Burada akla gelen soru şudur: Sonsuz sayıda eleman içeren bir küme var mıdır ki eleman sayısı (kardinalitesi) 0dan büyük, 1 den küçük olsun. Süreklilik Hipotezi böyle bir kümenin varolmadığını söyler. 1963'de matematikçi Paul Cohen'in hem bu ifadenin hem de tersinin küme kuramı aksiyomları ile tutarlı olduğunu ispatlaması şu anlama geldi: bu ifade, küme kuramı yazılırken başta doğru ya da yanlışlığı tartışılmadan kabul edilen ifadeler yani aksiyomlar gibidir. Varlığı mevcut aksiyomlar ya da onlardan çıkan teoremler kullanılarak ispatlanamaz!

Fermat'ın Son Teoremi


Fermat gerçekte bir avukattı ama matematiğe müthiş bir ilgisi vardı. Matematik dünyasında adı amatör matematikçi olarak anılır. Amatör sözcüğü basite alınmasın, günümüzdeki pek çok sayı kuramcı, onun kendisinden iyi olduğunu itiraf eder. Fermat, üzerinde çalıştığı kitap olan, Diaphontus'un Aritmetika'sının kenarına pek çok not almış ve teorem ispatlamıştı. Hatta öyle ki, ondan sonra kitap, bu yeni bilgiler eklenerek basılmıştı. Bu notlardan birinin, matematik dünyasının 350 yıl kadar gündeminde kalacağını kim bilebilirdi?
Fermat'ın Son Teoremi:
xn + yn = zn ifadesindeki (x,y,z) üçlüsünün n * 2 ve
n N olarak tanımlanan hiçbir n için
(önemsiz) tam sayı çözümü yoktur.
Teoremdeki önemsiz sözcüğü ilginizi çekebilir. Örneğin (0,0,0); (1,0,1) ya da (0,1,1) bu ifade için 3 farklı çözümdür ama Fermat bu tarz basit çözümlerle ilgilenmiyor.
Fermat bu hipotezin altına bir de not iliştirmiş:
"Çok güzel bir ispat buldum ama buraya yazmak için yeterli yer yok!"
Yine az öncekilere benzer bir durumla karşı karşıyayız. Elimizde sonsuz tane denklem var, deniyoruz ama bir türlü ifadeyi sağlayan (x,y,z) üçlüsü bulamıyoruz. Öyleyse gerçekten Fermat doğru söylüyor, deyip son noktayı koyamıyoruz. Bu çözümsüzlüğün ispatlanması gerekir. Tarihsel sıralamada önce belli değerler için ifadenin doğruluğu ispatlanıyor. n=3,4,5.İspatın her doğal sayı için doğruluğu ancak Fermat'ın ölümünden 328 yıl sonra, 1993'te İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından yapılabildi. İspat üzerinde çalışmaya10 yaşında başlayan bu matematik aşığı insan olmasa, belki hipotez, bugün hala bir çözüm bekleyenler arasında olacaktı!
kaynak Tubitak


-----------------------------------------

12345679 sekizi nerde derseniz yok ...bu seriden bakin neler oluyor
Matematik Dünyasi
Bir garip sayi 12345679 , nedense 8'i gezmeye gitmis...12345679, bu sayinin tek basina hiç bir özelligi yok.
Ama 9 ve 9'un katlari ile çarptiginiz zaman bakin ortaya nasil ilginç bir sonuç çikiyor. Matematikteki bu uyuma bakar
misiniz? siir gibi.

12 345 679 x 9 == 111 111 111
12 345 679 x 18 == 222 222 222
12 345 679 x 27 == 333 333 333
12 345 679 x 36 == 444 444 444
12 345 679 x 45 == 555 555 555
12 345 679 x 54 == 666 666 666
12 345 679 x 63 == 777 777 777
12 345 679 x 72 == 888 888 888
12 345 679 x 81 == 999 999 999
>veeee
12 345 679 x 999 999 999 == 12 345 678 987 654 321


Bunu kim , nasil buldu ? Bilmem..ama sonuç hos!!



dikkat ederseniz sayılar 9 ar tane.. toplamı 9 olduğu için kesin 9 a bölünüyor. yani 111 111 111 in sonucundan gidersek.. 9 a bölünüyor ve 1 e bölünüyor.

222 222 222 111 111 111 in 2 katı.. 9 ve 2 ye bölünüyor yani 18 e..

333 333 333 111 111 111 in 3 katı.. 9 ve 3 e bölünüyor yani 27 ye..

913
0
0
Yorum Yaz