01 01 2011

LOGARİTMA 2

LOGARİTMA 2
1. TANIM

a R+ -{1} ve x R+ olmak üzere, ay = x eşitliğini ele alırsak.
Bu eşitlikte; a değerini bulmak için kök alma, x değerini bulmak için kuvvet (üs) alma , y değerini bulmak içinde logaritma işlemi yapılır. 
a R+-{1}, x R+ ve y R olmak üzere,

ay=x  y=loga x tir.

Burada; y sayısı , x sayısının a tabanına göre logaritmasıdır.

Örnekler:
1) log2 8 = y  8= 2y  y = 3 tür.
2) loga 64 = 3  64 = a3  a = 4 tür.
3) log3 x = -2  x = 3-2  x = dur.
4) loga a = x  a = ax  x = 1 dir.
5) loga 1 = n  1 = an  n = 0 dır.
6) log5 (-25) v= m  -25 = 5m  m R dir.

Sonuç olarak:
1) loga a = 1
2) loga 1 = 0 
3)y = loga f(x)  f(x) > 0

Örnek:
Log5 (log3 (log2 x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:
Log5 (log3 (log2 x) ) = 0  log3 (log2 x ) = 50 = 1  log2 x = 31  x = 23 = 8 dir.

Örnek:
Log3 (a3.b.c) = 5 log3 = 1 olduğuna göre, a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:
log3(a3.b.c) = 5  a3.b.c = 35 
log3 =1  =31
x 
a3.b3 = 36
a.b = 32
a.b = 9 dur. 



Örnek:
log 3 a = 3 ve log b = 4 olduğuna göre a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:
log 3 a = 3  a = 3  a = 2 dir.
log b = 4  b = 4  b = 9 dur.
Buradan, a.b = 18 dir.

2. ÖZEL LOGARİTMALAR

a) Bayağı Logaritma
y = log10 x = log x fonksiyonuna 10 tabanında logaritma veya bayağı logaritma denir.

Örnek:
log10 10 = log10 = 1 dir.

b) Doğal Logaritma
e = 2,71828…. olmak üzere,
y = loge x = ln x fonksiyonuna doğal logaritma denir.

Örnek:
Loge e = ln e = 1 dir.


3. LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ

x,y R+ ve a R+ - {1} olmak üzere,

1) loga (x.y) = loga x + loga y
2) loga = loga x – loga y
3) log xm = loga x
4) loga x = loga y  x = y dir.


Örnek:
1) log 5 + log 2 = log (5.2) = log 10 =1
2) log 300 – log 3 = log = log 100 = log (102) = 2. log 10 =2
3) log25 125 = log 53 = log5 5 = 




Örnek:
log (2x-y) = log x + log y olduğuna göre, y nin x türünden eşitini bulalım.

Çözüm:
log (2x-y) = log x + log y  log (2x-y) = log (x.y)
 2x – y = x.y
 2x = x.y +y 
 2x = y. (x+1)
 y = dir.

Örnek:
log (a.b) = 3
log = 1 olduğuna göre, a değerini bulalım.

Çözüm:
log (a.b) = 3  log a + log b = 3
log = 1  log a – log b = 1
+ 
2 log a = 4
log a = 2
a= 102 = 100 dür. 
Örnek:
log2 işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:
log2 = log2 =log2 = log2 2 = tür.

Örnek:
a = olduğuna göre, logb değerini bulalım.

Çözüm:
a =  logb = logb = logb = logb b = tür.

Örnek:

log 5 = a, log 3 = b, log 2 = c olduğuna göre, log (22,5) ifadesinin a,b,c türünden eşitini 
bulalım. 





Çözüm:

log (22,5) = log = log = log 5 + log 32 – log 2 = log 5 + 2log 3 – log 2
= a + 2b – c dir.

Örnek:
Log5 x2 = 6 + log 5 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:
Log5 x2 = 6 + log 5  2. log5 x = 6 + log5 x-1
 2. log5 x = 6 – log5 x 
 3. log5 x = 6
 log5 x = 2
 x = 52 = 25 tir.

Örnek:

log 5 = n olduğuna göre, log 4 değerinin n türünden eşitini bulalım.

Çözüm:

log 4 = 2 log 2 = 2 log = 2. ( log10-log5) = 2(1-n) dir.

a R+, a 1 ve x R+ olmak üzere,

a = x tir. dır.

Örnek:
3 = 5, e ln3 = 3 ve 10logA =A dır.

Örnek:
9 = 10 = 10 = 102 = 100 dür.

Taban Değiştirme Kuralı:

ve R+ olmak üzere,
= = = dır. 






Not:
ve R+ olmak üzere,
, olur.

Örnek:
log25 = olduğuna göre, log510 ifadesinin türünden eşitini bulalım.

Çözüm:

log510 = = = olur. 


4. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğu için ters fonksiyonu vardır ve bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir. 


Y = loga x fonksiyonunun grafiği a nın durumuna göre çizilirse,

1. a>1 için y 
y = ax

1 

x 
1 

y = x y = loga x




y
2. 0

458
0
0
Yorum Yaz